Формулы называются сокращённым умножением, потому что заменяют перемножение скобок в столбик. Каждую из них можно вывести за полминуты, просто раскрыв скобки, — и это лучшее лекарство от заучивания наизусть: забытую формулу всегда можно восстановить.
Возводя сумму в квадрат, мы умножаем скобку саму на себя. Каждое слагаемое умножается на каждое — отсюда и берётся удвоенное произведение посередине.
То же самое, но с минусом: удвоенное произведение отрицательное, а последнее слагаемое остаётся положительным — минус на минус.
Единственная формула, которая раскладывает выражение на множители. Работает только с разностью: сумма квадратов не раскладывается.
Это не список из учебника, а то, что мы видим в присланных на проверку тетрадях. Если знать их заранее, ошибку в работе ребёнка можно найти за полминуты.
Самая живучая ошибка школьной алгебры: встречается и в седьмом классе, и на выпускных экзаменах. Лечится числами за пять секунд: (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13. Один раз подставить — и обычно этого хватает надолго.
Минус переносят на всё подряд. Но b² — это квадрат, а квадрат отрицательным быть не может: (−b)² = +b². Проверка числами: (5 − 2)² = 9, а по неверной формуле получилось бы 25 − 20 − 4 = 1.
Похожие названия — разные формулы. Числа расставляют всё по местам: 25 − 4 = 21, а (5 − 2)² = 9. Помогает читать вслух: «разность квадратов» — сначала квадраты, потом вычитание; «квадрат разности» — сначала вычитание, потом квадрат.
Формулы для суммы квадратов не существует — в школьной программе это выражение так и остаётся неразложимым. Правая часть в неверной записи вообще равна a² − b², что легко проверить раскрытием скобок.
В квадрат возводится всё, что стоит в скобках, — и коэффициент тоже. Ошибка родственна теме степеней, где путают, что именно возводится, если скобок нет.
Зачёт.AI — телеграм-бот, который проверяет домашнюю работу по фотографии. Вы снимаете страницу тетради, через десять секунд приходит разбор: что решено верно, где ошибка и какими словами её объяснить ребёнку. Ошибки из этой статьи он находит сам — список выше как раз составлен по присланным работам.
Готовых решений бот не выдаёт: показывает, где сломалось, и подсказывает правило. Работает для 5–11 классов, ребёнку отдельный аккаунт не нужен.
Проверить работу бесплатноСамый простой способ понять, усвоена ли тема: пусть ребёнок решит эти задачи в тетради — а вы сфотографируете страницу и пришлёте боту. Он разберёт каждую и покажет, где именно сломалось. Ответы есть и здесь: нажмите на условие, чтобы раскрыть.